Einige Integralrechenregeln

Lukas Graf

(How Not To)

Überblick

Überblick über den Vortrag
Grundlegende Definitionen
Integralrechenregeln
Beweise
Schluss

Definitionen

Sei $[a,b]$ ein Intervall und $f: [a,b] \to \IR$ eine Funktion. Dann ist das Riemann-Integral der Funktion $f$ definiert als \[\int_a^b f(x) \diff x \coloneqq \sup\Set{\int_a^b \phi(x)\diff x \SMid \phi \in \mathcal{T}[a,b], \phi \leq f} = \inf\Set{\int_a^b \phi(x)\diff x \SMid \phi \in \mathcal{T}[a,b], \phi \geq f}\] Dabei ist $\mathcal{T}[a,b]$ die Menge der Treppenfunktionen auf $[a,b]$.
$f$ heißt Riemann-integrierbar falls das Riemann-Integral existiert und die beiden Terme gleich sind.

Das Riemann-Intgeral von $f(x) = x^2$ ist $\frac{1}{3}x^3$. Die Funktionen \[f: [0,1] \to \IR, x \mapsto \frac{1}{x}\] und \[f: [0,1] \to \IR, x \mapsto \begin{cases}1, &\text{ if } x \in \mathbb{Q}\\0,&\text{ sonst}\end{cases}\] haben kein Riemann-Integral.

Sei $[a,b]$ ein Intervall und $f: [a,b] \to \IR$ eine Funktion. Wir bezeichnen mit $F: [a,b] \to \IR$ das Riemann-Integral von $f$.

Sätze

Seien $f,g: [a,b] \to \IR$ zwei stetig differenzierbare Funktionen und $\lambda \in \IR$. Dann gilt:

$\int_a^b(f+g)(x)\diff x = \int_a^b f(x)\diff x + \int_a^b g(x)\diff x$
$\int_a^b(\lambda\cdot f)(x)\diff x = \lambda\cdot\int_a^b f(x)\diff x$
$\int_a^b|f(x)|\diff x \geq |\int_a^b f(x)\diff x|$
$f \leq g \implies \int_a^b f(x)\diff x \leq \int_a^b g(x)\diff x$
$\int_a^b (f'\cdot g)(x)\diff x = \left[f(x)\cdot g(x)\right]_a^b - \int_a^b(f\cdot g')(x)\diff x$

Wir benötigen:

Fundamentalsatz:

Sei $F$ das Riemann-Integral von $f$. Dann gilt $\int_a^b f(x)\diff x = F(b)-F(a)$.

\begin{align*} \int_a^b (f'\cdot g)(x)\diff x &= \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\diff x = \int_a^b f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x) - f(x)\cdot g'(x)\diff x \\ &= \int_a^b f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\diff x - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\diff x \\ &= \int_a^b (f'\cdot g + f\cdot g')(x)\diff x - \int_a^b (f\cdot g')(x)\diff x \\ &= \int_a^b (f\cdot g)'(x)\diff x - \int_a^b (f\cdot g')(x)\diff x = \left[f(x)\cdot g(x)\right]_a^b - \int_a^b(f\cdot g')(x)\diff x \end{align*}

Beweis des Fundamentalsatzes

Für den ersten Teil muss gezeigt werden, dass die Ableitung von $F$, also der Grenzwert $\lim_{h\to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}$, existiert und gleich $f(x)$ ist.

Dazu sei $x\in [a,b]$ ein beliebiger, aber fester Punkt. Für alle $h \neq 0$ mit $x + h \in [a,b]$ gilt dann \[\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left(\int_{c}^{x+h} f(t)\,{\rm d}t - \int_{c}^x f(t)\,{\rm d}t \right) = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\,{\rm d}t.\]

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung existiert eine Zahl $\xi_h$ zwischen $x$ und $x+h$, sodass \[\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,{\rm d}t = f(\xi_h).\]

Wegen $\xi_h\to x$ für $h \to 0$ und der Stetigkeit von $f$ folgt daraus \[\lim_{h\to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h\to 0} f(\xi_h) = f(x),\] d.h. $F'(x)$ existiert und ist gleich $f(x)$.

Von de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis mmmmmm

Weitere Beweise

Quellen

Forster
Wikipedia